变上限积分求导公式

发布时间:2022-11-18 15:15:45

变上限积分求导公式:即∫f【t】dt(积分限a到x),通过映射的观点,每给一个x就积分出一个实数,所以这是关于x的一元函数,记为g【x】=∫f【t】dt(积分限a到x),注意积分变量用什么符号都不影响积分值,改用t是为了不与上限x混淆。

证明过程

现在用导数概念求g'【x】,通过概念,g'【x】=lim[∫f【t】dt-∫f【t】dt]/h(h趋于0,积分限前者为a到x+h,后者为a到x)=lim∫f【t】dt/h(积分限x到x+h,通过的是积分的区间可加性),通过积分中值定理,存在ξ属于【x,x+h】,使得∫f【t】dt/h=f【ξ】h,又由于h趋于0时ξ是趋于x的,故极限=limf【ξ】h/h=f【x】,至此证明了g'【x】=f【x】。

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