反函数与原函数的关系

反函数与原函数的关系：反函数的概念域与值域分别是原来函数的值域与概念域；函数的反函数，本身也是一个函数；偶函数必无反函数；奇函数假如有反函数，其反函数也是奇函数。

什么是原函数

已知函数f【x】是一个概念在某区间的函数，假如存在可导函数F【x】，使得在该区间内的任一点都有dF【x】=f【x】dx，则在该区间内就称函数F【x】为函数f【x】的原函数。

比如：sinx是cosx的原函数。

什么是反函数

一般来说，设函数y=f【x】【x∈A】的值域是C，若找获得一个函数g【y】在每一处g【y】都等于x，这样的函数x=g【y】【y∈C】叫做函数y=f【x】【x∈A】的反函数，记作y=f^-1【x】。反函数y=f^-1【x】的概念域、值域分别是函数y=f【x】的值域、概念域。较具有代表性的反函数便是对数函数与指数函数。

一般地，假如x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f【y】或者y=f^-1（x）。存在反函数【默觉得单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"?1"指的是函数幂，但不是指数幂。

反函数与原来函数关系

①函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的概念，原来函数也是其反函数的反函数，故函数的原来函数与反函数互称为反函数。

②反函数的概念域与值域分别是原来函数的值域与概念域。

③只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下边4点：

④偶函数必无反函数。

⑤单调函数必有反函数。

⑥奇函数假如有反函数，其反函数也是奇函数。

⑦原函数与其反函数在他们各自的概念域上单调性相同。

⑧互为反函数的图象间的关系。

函数y=f【x】的图象和它的反函数y=f-1【x】的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：

i）函数y=f【x】与y=f-1【x】的图象关于直线y=x对称，这个结论是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出的；

ii）（a,b）在y=f【x】的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1【x】的图象上；

iii）若y＝f【x】存在反函数y=f-1【x】，则函数y=f【x】的图象关于直线y=x对称的充分必要条件为f【x】＝f-1【x】，即原、反函数的解析式相同。