柯西中值定理的几何意义

几何意义：若令u=f【x】,v=g【x】，而[f【a】-f【b】]/[g【a】-g【b】]则是连接参数曲线的端点斜率...，因此[f【a】-f【b】]/[g【a】-g【b】]=f′【a】/f′【b】。

柯西中值定理的几何意义

f【t】和g【t】为t∈[a,b]上的函数。

[f【a】-f【b】]/[g【a】-g【b】]=f′【a】/f′【b】的证明如下

参数方程x=g【t】,y=f【t】;

x1-x2=g【a】-g【b】;

y1-y2=f【a】-f【b】;

【y1-y2】/【x1-x2】=[f【a】-f【b】]/[g【a】-g【b】];

dy/dx=[dy/dt]/[dx/dt]=f′【t】/f′【b】;

【y1-y2】/【x1-x2】表示两点连线斜率；dy/dx表示之间某点斜率；

通过罗尔定律可知存在【y1-y2】/【x1-x2】=dy/dx

因此[f【a】-f【b】]/[g【a】-g【b】]=f′【a】/f′【b】

柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理能够视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。

柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。