高中数学函数知识点归纳总结

一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，假如对于任意一个x都有确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的概念域，相应y的取值范围叫做函数的值域。下边是课考拉小编整理的高中数学课函数知识要点总结归纳，供参考。

一、一次函数概念与概念式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx【k为常数，k≠0】

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b【k为任意不为零的实数b取任何实数】

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1.作法与图形：根据如下3个步骤

【1】列表;

【2】描点;

【3】连线，能够作出一次函数的图像——一条直线。所以，作一次函数的图像了解2点，并连成直线即可。【通常找函数图像与x轴和y轴的交点】

2.性质：【1】在一次函数上的任意一点P【x，y】，都满足等式：y=kx+b。【2】一次函数与y轴交点的坐标总是【0，b】，与x轴总是交于【-b/k，0】正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：

当k>0时，直线必根据一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必根据二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必根据一、二象限;

当b=0时，直线根据原点

当b<0时，直线必根据三、四象限。

特别地，当b=O时，直线根据原点O【0，0】表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只根据一、三象限;当k<0时，直线只根据二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A【x1，y1】;B【x2，y2】，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

【1】设一次函数的表达式【也叫解析式】为y=kx+b。

【2】由于在一次函数上的任意一点P【x，y】，都满足等式y=kx+b。因此能够列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

【3】解这个二元一次方程，获得k，b的值。

【4】比较后获得一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：

1.求函数图像的k值：【y1-y2】/【x1-x2】

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√【x1-x2】’2+【y1-y2】’2【注：根号下【x1-x2】与【y1-y2】的平方和】

二次函数

I.概念与概念表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax’2+bx+c

【a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还能够决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.】

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax’2+bx+c【a，b，c为常数，a≠0】

顶点式：y=a【x-h】’2+k[抛物线的顶点P【h，k】]

交点式：y=a【x-x?】【x-x?】[于与x轴有交点A【x?，0】和B【x?，0】的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=【4ac-b’2】/4ax?,x?=【-b±√b’2-4ac】/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像，

能够看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x=-b/2a。

对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴【即直线x=0】

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P【-b/2a，【4ac-b’2】/4a】

当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时【即ab>0】，对称轴在y轴左;

当a与b异号时【即ab<0】，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于【0，c】

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b’2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b’2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b’2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数【x=-b±√b’2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a】

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数【以下称函数】y=ax’2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程【以下称方程】，

即ax’2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax’2，y=a【x-h】’2，y=a【x-h】’2+k，y=ax’2+bx+c【各式中，a≠0】的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>0时，y=a【x-h】’2的图象可由抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位获得，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位获得.

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就能够获得y=a【x-h】’2+k的图象;

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax’2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可获得y=a【x-h】’2+k的图象;

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可获得y=a【x-h】’2+k的图象;

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可获得y=a【x-h】’2+k的图象;

所以，研究抛物线y=ax’2+bx+c【a≠0】的图象，根据配方，将一般式化为y=a【x-h】’2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=ax’2+bx+c【a≠0】的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是【-b/2a，[4ac-b’2]/4a】.

3.抛物线y=ax’2+bx+c【a≠0】，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.

4.抛物线y=ax’2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

【1】图象与y轴一定相交，交点坐标为【0，c】;

【2】当△=b’2-4ac>0，图象与x轴交于两点A【x?，0】和B【x?，0】，其中的x1,x2是一元二次方程ax’2+bx+c=0

【a≠0】的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

5.抛物线y=ax’2+bx+c的比较值：假如a>0【a<0】，则当x=-b/2a时，y比较小【大】值=【4ac-b’2】/4a.

顶点的横坐标，是取得比较值时的自变量值，顶点的纵坐标，是比较值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

【1】当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax’2+bx+c【a≠0】.

【2】当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a【x-h】’2+k【a≠0】.

【3】当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a【x-x?】【x-x?】【a≠0】.

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为繁杂的综合题目。所以，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点，往往以大题形式出现.

反比例函数

形如y=k/x【k为常数且k≠0】的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

因为反比例函数属于奇函数，有f【-x】=-f【x】,图像关于原点对称。

同时，从反比例函数的解析式能够得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负【2和-2】时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识要点：

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数【即y=k/【x±m】m为常数】，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。【加一个数时向左平移，减一个数时向右平移】

对数函数

对数函数的一般形式为，它其实便是指数函数的反函数。所以指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

能够看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，由于它们互为反函数。

【1】对数函数的概念域为大于0的实数集合。

【2】对数函数的值域为所有实数集合。

【3】函数总是根据【1，0】这点。

【4】a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

【5】显然对数函数无界。

指数函数

指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就能够了解，要想使得x可以取整个实数集合为概念域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的状况。

能够看到：

【1】指数函数的概念域为全部实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的状况，则必然使得函数的概念域不存在连续的区间，所以我们不予考虑。

【2】指数函数的值域为大于0的实数集合。

【3】函数图形都是下凹的。

【4】a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

【5】能够看到一个显然的规律，便是当a从0趋向于无穷大的过程中【当然不能等于0】，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

【6】函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

【7】函数总是根据【0，1】这点。

【8】显然指数函数无界。

奇偶性

注图：【1】为奇函数【2】为偶函数

1.概念

一般地，对于函数f【x】

【1】假如对于函数概念域内的任意一个x，都有f【-x】=-f【x】，那么函数f【x】就叫做奇函数。

【2】假如对于函数概念域内的任意一个x，都有f【-x】=f【x】，那么函数f【x】就叫做偶函数。

【3】假如对于函数概念域内的任意一个x，f【-x】=-f【x】与f【-x】=f【x】另外成立，那么函数f【x】既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

【4】假如对于函数概念域内的任意一个x，f【-x】=-f【x】与f【-x】=f【x】都不能成立，那么函数f【x】既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个概念域而言

②奇、偶函数的概念域一定关于原点对称，假如一个函数的概念域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇【或偶】函数。

【分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其概念域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的概念经过化简、整理、再与f【x】比较得出结论】

③判断或证明函数是否具有奇偶性的通过是概念

2.奇偶函数图像的特征：

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。

f【x】为奇函数《==》f【x】的图像关于原点对称

点【x,y】→【-x,-y】

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

3.奇偶函数运算

【1】.两个偶函数相加所得的和为偶函数.

【2】.两个奇函数相加所得的和为奇函数.

【3】.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

【4】.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

【5】.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

【6】.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.