考研数学高数不等式证明方法

不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。

考研数学高数不等式证明方法

利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。

利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。基本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，进而得出证明。

除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的最小值为0或为常数，则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。

考研数学不等式常用的证明方法

一、利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理。思路为：

【1】将所证明的不等式变形，使其一端变为或者的形式;

【2】若在【1】中其一端出现的形式，则对函数在区间上使用拉格朗日中值定理;若在【1】中其一端出现的形式，则对函数，在区间上使用柯西中值定理;

【3】根据中值定理中得到的的关系式及的取值范围，推出所证不等式。

二、利用单调性证明不等式。思路为：

【1】构造辅助【一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数】。

【2】利用单调性判定定理，判定 在所讨论范围内的单调性。

【3】求在所讨论范围内的某个端点的函数值或极限值，从而推出不等式。

三、利用最大值或最小值证明不等式。思路为：

【1】构造辅助函数【一般方法是移项，使不等式一端为零，另一端为所构造的辅助函数】。

【2】求在所讨论范围I上的最大值或最小值。

【3】若在区间I上的最大值为M，则;若在区间I上的最小值为m，则。

四、利用泰勒公式证明不等式。思路为：

【1】将函数在适当的点展开成比的最高阶导数低一阶的泰勒公式。

【2】根据已知条件所给的最高阶导数的取值范围，对展开式进行放缩。

考研高数中不等式有哪些证明方法

1、利用函数的单调性证明不等式

利用单调性证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，使用范围非常广。主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数F 【x 】 及区间[a , b ]，利用导数确定函数在区间内的单调性。如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。

下面来看一道典型例题：

例1 证明：当x >0时，ln【1+x 】

证明：构造函数F 【x 】 =ln【1+x 】 -x ，则F '【x 】 =

调减少，则F 【x 】 0时，F '【x 】

类似可证明：当x >0时，e >1+x .这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。

2、利用函数的最值证明不等式

利用函数的最大值、最小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的最大值最小值定理或利用导数求出函数的最值。具体思路是求出函数f 【x 】 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足m ≤f 【x 】 ≤M 。

例2 证明：11+

则F '【x 】 =1+1x -ln【1-x 】 -=-ln【1-x 】 ，当x

00，F 【x 】 单调递增，所以x =0是F 【x 】 的极小值点，也是最小值点.又F 【0】=0，故F 【x 】 >F 【0】【∀x >1且x ≠0】 ，即x +ln【1-x 】 >x ln【1-x 】 . 又x ln【1-x 】

3、利用函数的凸凹性证明不等式

分按定义和依据定理两种请况证明不等式，具体如下：

【1】如果要证明的不等式中包含形如f ⎛x 1+x 2⎫1⎪、2[f 【x 1】 +f 【x 2】]的项，那么往往可以找⎝2⎭到合适的函数，并利用该函数的凸凹性证明不等式。

例3 已知x >0，y >0且x ≠y ，证明：x ln x +y ln y >【x +y 】 ln x +y . 2

1>0，从而可知F 【x 】 x 【x 】 =1+l n x ，F "【x 】 = 证明：构造函数F 【x 】 =x ln x ，【x >0】 ，则F '

在x >0时是凹的.所以由凹函数的性质可得，F 【x 】 +F 【y 】 x +y >F 【】 ，即22

x ln x +y ln y >【x +y 】 ln x +y . 2

0【2】利用定理：设f 【x 】 在[a , b ]上二阶可导，若f ''【x 0】 >0，则f 【x 】 ≥f 【x 】 0f +【' x 【】 x 0x 】 -，

等号成立当且仅当x =x 0;若f ''【x 0】

例4 设f 【x 】 在[0,1]上二阶可导且f "【x 】 >0，证明：⎰1

01f 【x 2】 dx ≥f 【】 . 3

证明：因为f "【x 】 >0，所以有f 【x 】 ≥f 【】 +f '【】【x -】 ，于是 1

31313

111f 【x 2】 ≥f 【】 +f '【】【x 2-】 ，两边同时在[0,1]上积分得， 333

⎰1

0111111f 【x 2】 dx ≥f 【】 +f '【】 ⎰【x 2-】 dx ，即⎰f 【x 2】 dx ≥f 【】 033303