线性代数考研数学大纲

人生路上有无数的驿站可以歇脚，有的包袱可以等到该背的时候再去背，用不着把所有的包袱都背在今天的背上。

线性代数考研数学大纲【1】

矩阵的特征值与特征向量问题是考研数学中的常考点。

矩阵的特征值与特征向量的定义：

设为阶矩阵，若存在常数和向量，使得，则称为矩阵的特征值，称为矩阵的属于特征值的特征向量。

求特征值与特征向量的常用思路：

1.根据定义求特征值和特征向量。

2.当已给出矩阵，通过求出特征值，然后通过求齐次线性方程组的基础解系，求出矩阵的属于特征值的线性无关的特征向量。

3.利用关联矩阵的特征值之间的关系求特征值，如互逆矩阵的特征值互为倒数;相似矩阵的特征值相同;和有相同的特征值等。并利用关联矩阵特征向量之间的关系求矩阵的属于特征值的特征向量，如当可逆时，、与对应的特征值的特征向量相同等。

一般矩阵与实对称矩阵的特征值与特征向量的性质：

1.阶矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹，阶矩阵的所有特征值之积等于矩阵的行列式。

2.设为阶矩阵的特征值，若为矩阵的属于特征值的特征向量，则也是矩阵的属于特征值的特征向量。

3.实对称矩阵的特征值都是实数。

4.矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关，实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。

线性代数考研数学大纲【2】

一、课程特点

1.四多：概念多，定理多，符号多，运算规律多，且内容相互纵横交错。

2.知识前后紧密联系。

二、考试重点及复习策略

在此，提醒学员及广大考生：应充分理解概念、掌握定理的条件、结论，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律、计算方法。总结起来就是抓联系，找规律，重应用。

行列式的重点是计算，利用性质熟练、准确、快捷的计算出行列式的值是一个基本功。

矩阵中除可逆矩阵、分块矩阵、初等矩阵、对称矩阵、正交矩阵、数量矩阵等重要概念外，主要也是运算，首先是矩阵符号的运算，其次是数值运算。特别是在解矩阵方程时先用符号运算化简方程，然后利用所给数值求出最后结果。这时往往是矩阵乘法或求逆，对这两种运算又务必要准确熟练。A和A*的关系式，矩阵乘积的行列式，方阵的幂，分块矩阵求逆及行列式也是常考的内容。

关于向量，在加减及数乘运算上等同于矩阵运算，而其特有的相关、无关性的命题却在试卷中随处可见。证明【或判断】向量组的线性相关【无关】性，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关【无关】的概念及几个相关定理，并要注意推证过程中逻辑的正确性及证法的应用。

向量组的极大无关性、等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换求向量组及矩阵的秩的方法要熟练准确。在R?中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过度矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，必须概念清楚，计算熟练。

关于特征值，特征向量，对具体给定的数值矩阵，要会求特征值，特征向量。对抽象给出的矩阵，要把式子AX=X大胆运算。

关于相似矩阵和对角化的条件，实对称矩阵定能对角化，且可由正交变换化为对角阵。反之，又可由A的特征值，特征向量来确定A的参数或确定A。如果A为实对称矩阵，由于其不同的特征值所对应的特征向量相互正交，还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2【λ2≠λ1】对应的特征向量，从而确定出A。对角化以后的形式，常可以求A的行列式或有关的行列式值。

关于二次型，一是化标准形【正交变换、可逆变换】这和把实对称矩阵化为对角矩阵是一个问题的两种提法。二是正定性问题【可用顺序主子式来判定】，应熟悉二次型正定的有关充分条件和必要条件，利用标准形，特征值来证明相关矩阵的正定性。

线性代数考研数学大纲【3】

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算

线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩【矩阵、向量组、二次型】，等价【矩阵、向量组】，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式【数字型、字母型】的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量【定义法，特征多项式基础解系法】，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵【亦即用正交变换化二次型为标准形】。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对，再问做得好不好。只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有r【B】≤n-r【A】即r【A】+r【B】≤n，进而可求矩阵A或B中的一些参数。

凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，大家整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

应该说考研数学最简单的部分就是线性代数，这部分的难点就在于概念非常多而且相互联系，但线代贯穿的主线就是求方程组的解，只要将方程组的解的概念和一般方法理解透彻，再回过头看前面的内容就非常简单。同时从考试内容来看，考的内容基本类似，可以说是最死的部分，这几年出的考试题实际上就是以前考题的翻版，仔细专研一下以前考题对大家是最有好处的。

线性代数考研数学大纲【4】

1.行列式的重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

2.矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外，主要也是运算，其运算分两个层次：

【1】矩阵的符号运算

【2】具体矩阵的数值运算

3.关于向量，证明【或判别】向量组的线性相关【无关】，线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关【无关】的概念及几个相关定理的掌握，并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。

4.向量组的极大无关组，等价向量组，向量组及矩阵的秩的概念，以及它们相互关系也是重点内容之一。用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。

5.于特征值、特征向量，要求基本上有三点：

【1】要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程∣λE-A∣=0及【λE-A】ξ=0即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值【的取值范围】，可用定义Aξ=λξ，同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用。

【2】有关相似矩阵和相似对角化的问题，一般矩阵相似对角化的条件。实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵，反过来，可由A的特征值，特征向量来确不定期A的参数或确定A，如果A是实对称阵，利用不同特征值对应的特征向量相互正交，有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2【λ2≠λ1】对应的特征向量，从而确定出A.

【3】相似对角化以后的应用，在线性代数中至少可用来计算行列式及An。