考研数学定理证明技巧

考研 数学定理证明技巧

对于需要考研的同学来说，数学的复习要提早一些。那么，考研数学定理证明技巧有哪些?

微分中值定理是微分学应用的理论基础。是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。能熟练的应用中值定理确实是一件不易的事，尤其是辅助函数的引入，更是变化多样。下文给出微分中值定理在一些证明题中的巧用。

一、微分中值定理的主要应用

1. 证明等式;2. 证明恒等式;3. 证明不等式; 4. 讨论方程实根【或函数零点】的存在性。

二、掌握微分中值定理应用方法的关键

——在分析解题思路时，必须紧紧抓住 “定理”、“函数”、“区间”三要素

“定理” ——适用定理的选择

“函数” ——辅助函数的构造

“区间” ——讨论区间的确定。

三、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法

方法一：构造辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算。

方法二：构造两个辅助函数，在同一个区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算。

方法三：构造两个辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算。

微分中值定理证明试题范例

设函数f【x】在区间[0,1]上连续,在【0,1】内可导,且f【0】=f【1】=0,f【1/2】=1.试证: 【1】存在η∈【1/2,1】,使f【η】=η; 【2】对任意实数λ,必存在ξ∈【0,η】,使得f'【ξ】-λ[f【ξ】-ξ]1 第二问最后少打了等号，应该是f'【ξ】-λ[f【ξ】-ξ]=1

【1】证明：由介值定理知，至少存在一点ζ∈【0, 1/2】, 使f【ξ】=1/2再由介值定理知，至少存在一点η∈【ζ,1】,即存在η∈【1/2,1】,使f【η】=η

【2】 证明：构造函数F【x】=e^【-λx】[f【x】-x]则F【x】在区间[0,1]上连续,在【0,1】内可导F【η】=0, F【0】=0∴由罗尔定理知，必存在ξ∈【0,η】, 使F'【ξ】=0即-λe^【-λξ】[f【ξ】-ξ]+e^【-λξ】[f'【ξ】-1]=0∴f'【ξ】-λ[f【ξ】-ξ]=1

考研数学解题技巧

首先是确定做题顺序，可以采用填空、计算、选择、证明的顺序。因为尽管选择题的分数相对要少一些，但它们一般对基础知识要求较高，选项迷惑性大，有时需要花很多时间去分析也难以取舍，而且有些选择题的计算量也是很大的，如果在做题的开始就感觉不顺而花太多时间的话，会影响考试的心理状态。证明题考查的是严密的逻辑推理，难度也比较大。因此，建议这两类题型可以放在后面做，而先做相对简单的。

一般来说，平时复习的时候要尽量从自己薄弱的方面“榨取”分数，而正式考试时，先通观整个试卷，迅速客观地评估自己的实力，明确哪些分数是必得的，哪些是可能得到的，哪些是根本得不到的，再采取不同的应对方式，才能镇定自若，进退有据，最终从整体上获胜。

同学们可以先解答填空题，一般讲填空题是基本概念，基本运算题，得分比较容易，当然试题中计算题或者证明题以平时看书或者参加辅导班老师所讲的例题类似的也可以先做;其次做计算题;最后解单项选择题，因为有些单项选择题概念性非常强，计算技巧也比较高，

求解单项选择题一般有以下几种方法：

【1】推演法：它适用于题干中给出的条件是解析式子。

【2】图示法：它适用于题干中给出的函数具有某种特性，例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形，用图示法做就显得格外简单。

【3】举反例排除法：排除了三个，第四个就是正确的答案，这种方法适用于题干中给出的函数是抽象函数的情况。

【4】逆推法：所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确，然后做逆推，如果得到的结果与题设条件或尽人皆知的正确结果矛盾，则否定这个备选答案。

【5】赋值法：将备选的一个答案用具体的数字代入，如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否定。

做选择题的时候，考生可以巧妙地运用图示法和赋值法。这两种方法很有效。同学们平时用得很多，但很多人进考场一紧张就忘了，而用一些常规方法去硬算，结果既浪费了时间又容易出错。

计算题的题目结果一般不会特别复杂，一旦出现了很复杂的结果，就需要重点检查一下。如果遇到自己不会做和没有把握的题目，千万不要留空白，可以多写一些相关内容来得一些“步骤分”。

拿到试卷检查无误后先看一下有没有自己熟悉的题，先解决掉自己有把握的再说，省得最后没有时间了把自己会的忽略了。针对数学一，一般而言，考研数学第一道大题填空题基本上全是概念性的题目，计算量不大，考生只要复习过，没有遗漏知识点，基本全都可以很快做出来;第二道大题选择题，其中有三四道题是大家都会做的，还有几道偏难的选择题，一时拿不准可以先放一放，实在不会还可以猜一猜;而第三道、第四道大题，一般来说难度不大，可以先做。历年试题这两道主要是高等数学的基本问题，如极限、偏导数或定积分应用题。接下来的高等数学的题目可能有些难度，如果考生对线性代数和概率统计比较擅长，可以先各做一个大题，这样整个卷面分数就可以达到70分左右，分数线可以通过。

考研数学备考建议

1、积极整理笔记

整理笔记是一个重要的步骤。注意一定要在学习过程中写出自己的感受，可以在书上以题注的形式或者就是做笔记，尽量深挖例题内涵，这一点很重要，并且要贯彻前三轮的复习，如果最后一轮复习我们有了自己整理的笔记，就会很轻松。有同学说学习线性代数最好的办法就是亲自推导，这话很有道理，事实上如果我们学习什么知识都采取这种态度的话，那肯定都会学得非常好。

2、学习而不是复习的心态

对于大部分同学而言，由于高等数学学习的时间比较早，而且原来学习所针对的难度并不是很大，又加上遗忘，现在数学知识恐怕已经所剩无几了。所以，考研的这一遍要强调学习，要拿出重新学习的劲头亲自动手去做，去思考。

3、复习顺序的选择

对于考研数学，建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性代数和概率论与数理统计的基础，一定要先学习。我并不主张三门课齐头并进，毕竟三门课有所区别，要学一门就先学精了再继续推进，做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉，到时你反而会耗费更多的时间去收拾烂摊子。当然，大家也可根据自己的特殊情况调整复习顺序。

4、加强练习掌握规律

数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化，但其知识结构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。通过大量的训练可以切实提高数学的解题能力，做到面对任何试题都能有条不紊地分析和计算。

5、不要依赖答案

千万不要依赖答案，学习的过程中一定要力求全部理解和掌握知识点，做题的过程中先不要看答案，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之后再抛弃答案自己把题目独立地做一遍。不要以为看明白了就会了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。

好吧，还是那句话，功夫不负有心人，脚踏实地才能有收获。只有自己亲身经历过，才知道其中的酸甜苦辣。这些经验对你也许是个鼓励。沉下心，努力向前。

数学考研怎么办

▶课本

1、课本课本课本!全书看不懂的一定要看课本!先把高等数学同济+概率论与数理统计浙大+线性代数同济教材+习题全解，过一遍，某宝上有全套，如果图书馆有的直接去图书馆借，这个只需过一遍即可。有很多内容是超纲的，百度上就能搜到考研数学教材必做课后题，对照上一年的大纲看哪里要看哪里不需要看，一定要对照，概率统计很多都是不需要掌握的。

▶相关视频

2、课本过完后，认真看一遍汤家凤的视频，并作笔记，他讲的非常好，去年多亏了他，如果资金有限家庭贫困，去某宝上买吧，很划算。我把他的导学+基础+强化视频都看了，如果你坚持到了这里高数和线代基本已经成形了，他的强化视频非常重要，建议要看不止一遍。此后再翻阅自己的笔记就可以。概率统计直接看王式安的视频，哪一年的都可以，我直接去优酷找的2013年的，后来买了2015年的发现内容基本没区别。

▶全书

3、这些你都看完之后，上全书，相信我这下就很快了，全书在全，但是没重点，看完视频听了课，哪些是重点哪些不是重点你都清清楚楚了。这一次做全书你会体会到前所未有的顺畅，记得当时再做全书线代用了一周，概率用了一周，高数一共用了两周，加起来一共用了一个月。如果你觉得还做得不好并且还有时间，那么把第一遍不确定或者不会的题再做一遍，如果你自己基本差不多都已掌握了或者时间不多了【时间不多就是做完这些已经十月底十一月初了，如果你别的科目特别差劲，也可以视为时间不多】，那么全书到此告一段落，没错儿告一段落了。

记住!!这一阶段在第二阶段记的笔记要不断翻，翻一章做一章全书，那些公式自己记不住的记不牢的反复记。记得之前自己一直记不住麦克劳林展开式，每天去图书馆坐下学习之前下默写一遍，坚持了最多一周基本已经烂熟了。

由于我速度比较慢，在123阶段数学基本要花掉一白天的时间【除去早上9点以前给英语的时间】，如果你速度非常快，那就更好了。

▶真题

4、这时候你就可以做真题了，有了3的基础，真题一天一套，掐时间每天三个小时做完，一两个小时对答案思考，基本十来天就做完了，因为全书上已经有很多真题了，所以做起来还是比较顺畅。只做04还是05年改革之后的，认真对答案，错了的题标好，弄懂即可。真题我用的跟全书一块买的李正元的那套，个人觉得李正元和李永乐的都可以，别买别的了，我当时还加看汤家凤的视频讲解真题，个人觉得他的真题讲得时好时坏，好像没怎么准备，还有个别错的，有些方法还是值得借鉴，但有些方法却很啰嗦，所以要多对比多思考。

查漏补缺，自己哪个模块掌握不好，哪个类型的题老做不好，多做做，多看看笔记，这时候你基本也已经知道了笔记中哪些不是重点，因为视频里数一数三不分，所以对数三来说非重点就已经很明确了。这时候基本数学只能占去你一早上的时间了，下午还要留给别的科目。

▶模拟题

5、4完成后工大的模拟题应该就出了，同样某宝，共创和超越都要买，计时模拟，我知道非常难，不光难，你还觉得咋这么偏，但是别放弃坚持做，上了考场你就会发现这题咋这么不像真题像模拟题，三个小时候无论做不做完，对答案，如果你时间很充裕，把它们全部搞懂，如果你时间不多，这样做一遍就差不多了，因为这时候政治专业课神马的是非常重要的。记着，这一遍同样不要忘记你的笔记，这时候应该被你已经翻了好多遍了，不要放松继续翻。

▶真题again

6、我们要回归真题了，同样，如果你时间充裕再做一遍真题，如果你时间不充裕做做看看以前做错的真题，着重掌握。2阶段的笔记也不要忘记哦!

这6个阶段完你基本就上考场了，别急也别怕，我们的目标不是没有蛀牙，是基本拿下选择填空，大题能做的尽量做，不会做的，把自己所有的思路都甩上去，把字写小点，如果你不会并且要把所有思路都甩上去的话，答题区域是非常局促的，所以要注意这一点。当时考完估了分觉得最多只能上120，还桑心了好一阵，结果成绩出来是130，后来想想大概和自己不会的大题写得多有关系。

我知道140,150的童鞋非常多，我这分也不算怎么高，但我自己灰常满意，因为我本来数学就不是那么好，而且全程复习没有数学研友，没有可以讨论问题的老师同学，都是结合网络在自己摸索，对数学自己下的功夫最大，投入的时间最多，所以能考成这样就很满意了。