考研数学证明题方法

考研 数学证明题方法

结合几何意义记住基本原理

重要的定理主要包括零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论。

知道基本原理是证明的基础，知道的程度【即就是对定理理解的深入程度】不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一真题第16题【1】是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。

因为数学推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。

借助几何意义寻求证明思路

一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点【正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点】之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F【x】=f【x】-g【x】有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。

再如2005年数学一第18题【1】是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f【x】及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

逆推法

从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。

在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多【这里所举出的例子就属非正常情况】，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F【x】=ln*x-ln*a-4【x-a】/e*，其中eF【a】就是所要证的不等式。

对于那些经常使用如上方法的考生来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说，却常常轻易丢失12分，后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失。

考研数学解题方法

1、做典型题，培养解题思路

在考研复习中对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，考生要特别注重解题思路和技巧的培养。典型题可以理解为基础题以和常考题型。做这种题时考生要积极主动思考，不能只是为了做题而做题。要在做题的基础上更深入地理解、掌握知识，所学的知识才能变成自己的知识，这样才能使自己具有独立的解题能力。

例如线性代数的计算量比较大，但纯计算的题目比较少，一般都是证明中带有计算，抽象中夹带计算。这就要求考生在做题时要注意证明题的逻辑严谨性，掌握知识点在证明结论时的基本使用方法，虽然线性代数的考试可以考的很灵活，但这些基本知识点的使用方法却比较固定，只要熟练掌握各种拼接方式即可。

尽管试题千变万化，但其知识结构基本相同，题型相对固定，这就需要考生在研究真题和做模拟题时提炼题型。提练题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定式，进而提高考生解题的速度和准确性。

2、找切入点，理清知识脉络

考生们在解综合题时，最关键的一步是找到解题的切入点。所以大家需要对解题思路很熟悉，能够看出题目与复习过的知识点、题型之间存在的联系。在考研复习中要对所学知识进行重组，理清知识脉络，应用起来才能更加得心应手。

解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关的数学模型，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。

3、选常规题，珍惜复习时间

对于比较偏门和奇怪的试题，建议大家不要花太多的时间。同学们在复习中做好分析好考研数学的常规题目便已足够。研究生考试不是数学竞赛，出现偏门和怪题的情况微乎其微，因此完全没必要浪费时间。

考研复习中，遇到比较难的题目，自己独立解决确实能提高能力。但复习时间毕竟有限，在确定思考不出结果时，要及时寻求帮助。一定要避免一时性起，盯住一个题目做大半天的冲动。

总的来说考研数学试题的考察还是建立在基础之上，建议考生在平时的复习中注意积累解题方法和技巧、有计划地培养独立解题能力，最终准确把握考试题目侧重的知识点。秋季是考研复习强化的关键阶段，考生一定要全身心投入复习。

考研数学复习方法

【一】必须定时，整套整套的做题。

真正的模拟考场的感觉和气氛，同学们可以通过做整套题这样的训练方式来找找考场的感觉，而且通过反复的做整套题，不仅能使大家学习状态稳步提升和学习效率的提高，而且能看清自己的学习潜能，在今后更好的发挥自己的潜能做好充足的训练，来适应连续4科的考研考试。

要知道没有这种真刀真枪的训练，正式考试即使“坐”下来了，也很难保证状态。往年有很多同学反映这种严格的训练一开始还真不适应，第一次做完套题时，走路都有一种轻飘飘的感觉，这确实是个体力活，很累的。但锻炼多了，做3个小时也就成为一种习惯了。

切忌，边做题边对答案，超时、把套题割裂开来，分块来做。如果这样做了既不能得到作套题的经验，你不知道一套题坐下来是什么样的，也没有发挥真题和模拟题的训练价值。这样做对于提高你的成绩帮助有限。如果把题目割裂开来做，那么不利于形成较高的应试能力。还有的同学超时，用了3个半小时或4个小时，这样即使得了较高的分数，但是其实和你真实的成绩要打打折。对于边做题边对答案更是不可取的，这样即使是你得了满分，又有什么用呢，基本上没有从套题上得到训练，这样对自己的效果不是很大。

【二】必须评分、分析和总结。

通过每次测试打分给自己压力，也能看到自己一点一点的进步给自己鼓舞坚持做下去，这样才能更清晰的了解自己的状况，才能不断提高自己，我们总结可以从几个方面进行，第一个从自己做错的题目入手，把自己做错的题目放在一个错题集中，以便自己在遇到类似的题目不会出现错误。

第二个可以从整套试卷入手看一看都考了哪些知识点那种类型的题目，哪些是做起来比较顺手的。哪些是不顺手的。通过这样的总结把考研要求的知识有序地存储起来。我们通过强化阶段的归纳总结已经有了自己的知识体系，而通过真题阶段的总结，可以更加优化我们的知识体系，可以让你等知识存储更接近考研的水平。

切忌，做完题目不评分，不分析，不总结。有的同学觉得自己做的不好，怕打分后受打击，其实我们真正要考的是最后一次，现在的分数只是检验我们这阶段学习的效果而已，也许是我们得到更高分的垫脚石。

另外，有的同学对自己做错的题目，觉得看看答案就会了，不去总结，往往只为了赶进度，只一直做新的题目，草草看看答案就说声“原来如此” 就算了。这样不行，一定要善于总结方法和规律，对自己做的每个题目要认真思考，要通过每个题目掌握其解题方法，这样积累到最后，一定会有很大的收获的!

考研高等数学复习方法

第一章 函数与极限

微积分中研究的对象是函数。函数概念的实质是变量之间确定的对应关系。极限是微积分的理论基础，研究函数实质上是研究各种类型极限。无穷小就是极限为零的变量，极限方法的重要部分是无穷小分析，或说无穷小阶的估计与分析。我们研究的对象是连续函数或除若干点外是连续的函数。

第二章：导数与微分

一元函数的导数是一类特殊的函数极限，在几何上函数的导数即曲线的切线的斜率，在力学上路程函数的导数就是速度，导数有鲜明的力学意义和几何意义以及物理意义。函数的可微性是函数增量和自变量增量之间关系的另一种表达形式。函数微分是函数增量的线性主要部分。

第三章：微分中值定理与导数的应用

连续函数是我们研究的基本对象，函数的许多其他性质都和连续性有关。在理解有关定理的基础上可以利用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、拐点，并体现在作图上。微分学的另一个重要应用是求函数的最大值和最小值。

第四章：不定积分

积分学是微积分的主要部分之一。函数积分学包括不定积分和定积分两部分。在积分的计算中，分项积分法，分段积分法，换元积分法和分部积分法是最基本的方法。

第五章： 定积分

定积分是微积分七大积分的基础，要理解微元法，理解以“以常代变”的这种思想。定积分的计算公式“牛顿-莱布尼兹”是我们微积分的核心，要会证明。

第六章：定积分的应用

定积分的几何应用，是所有同学都需掌握的;物理应用数三的同学不需掌握。

第七章：空间解析几何

本章主要理解向量之间的关系，会写平面、直线、二次曲面的方程，为后面重积分做准备。

第八章：多元函数微分法及其应用

在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分法及其应用，主要是二元函数的偏导数、全微分等概念，掌握计算不同函数的各种方法及应用中的会求条件或无条件极值。

第九章：重积分

在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的极限，这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念，本章主要介绍重积分【包括曲线曲面积分】的概念、计算方法以及它们的一些应用，重点是会计算。

第十一章：无穷级数

这一部分和之前的知识联系不那么紧密，是从思维方式上的一个改变。本章学习的时候一定要分类总结，对于数项级数，分清不同的级数适用的判定方法;对于函数项级数，会求和函数、收敛域。

第十二章 常微分方程

常微分方程的研究对象就是常微分方程解的性质与求法，本章主要有两个问题，一是根据实际问题和所给条件建立含有自变量、未知函数及未知函数的导数的方程及相应的初始条件;二是求解方程，包括方程的通解和满足初始条件的特解。学习的切入点是，看到方程分辨出方程的类型，其次再谈它的解法，因为不同的方程解法不同。