根号2是无理数吗

根号2是无理数吗，经常有网友问这个问题，不要着急，一起来看看吧。

怎样简证√2是无理数？

证明√2是无理数有非常多的方法，我将自己知道的有限几个罗列出，也不知道那只算是简证。

西帕索斯的最初证明

首先，正有理数定义为两个正整数 a, b 之比，记为， a/b，为了表示的唯一性，规定 a, b 既约，即，a, b 的最大公约数 (a, b) = 1。

假设 √2 = a/b 是正有理数，其中 (a, b) = 1，则 有 a? = 2 b? ①，这说明 a? 是偶数，从而 a 也是偶数，令，a = 2n（n 是正整数），代入等式①，得到 2n? = b?，这说明 b? 是偶数，从而 b 也是偶数，令，b = 2m（m 是正整数）。于是有 (a, b) = (2n, 2m) = 2 这和 (a, b) = 1 矛盾。

用算术基本定理证明

算术基本定理：任何大于 1 的正整数 a 都可以唯一的表示为，

其中，p? < p? < ... < p_n 并且均为素数，r?, r?, ..., r_n 均为大于等于 1 的正整数。

假设 √2 = a/b ①， 因为 1 < √2 < 2，所以 a/b 不是正整数，即，b > 1，同时 a/b = √2 > 1，故 b > a > 1，这说明 a, b 都是 大于 1 的正整数，于是，令：

代入等式①，得到：

等式右边是一个偶数，要使得等式成立 左边也必须是偶数，即，p? = 2，于是 等式左边 素因子 2的次数 是 2r? ，是个偶数。

等式右边，如果 q? = 2，则 素因子 2 的次数是 2s? + 1，如果 q? > 2，则 素因子 2 的次数是 1，这说明等式右边 素因子2的次数 是 奇数。

于是，左右两端素因子2的次数奇偶性矛盾。

用连分数证明

对于 任意 给定 的 正整数 q?, q?，用欧几里得 辗转相除法求取最大公约 (q?, q?) 的过程如下：

对于任何正有理数 q? / q?， 其中 (q?, q?) = 1 ，有：

这说明，任何正有理数都可以唯一的表示为有限个正整数构成的连分数，进而得出，无限个正整数构成的连分数的值是无理数。（注：a?允许为0）。

因为 (√2 - 1)(√2 + 1) = 1，所以：

即，

这样以来， √2 就是 无限个正有理数构成的连分数 的 值，是一个无理数。

用正方形面积证明

考虑不定方程 x? - 2y? = 0 ②，我们发现： √2 是有理数 p / q，(p, q) = 1 的充要条件是 ② 存在 最小解正整数 x = p, y = q。

假设x = a, y = b 是 ② 的正整数解，即， a? - 2b? = 0，则 √2 = a/b ，因为 √2 > 1 所以 a > b，于是绘制如下图形：

设，最大正方形面积为 X = a × a， 左下、右上 两个红色正方形面同为 Y = b × b，中间红色正方形面积为 A = c × c，左上、右下 两个蓝色正方形面积同为 B = d × d，则 根据图形中面积关系 有：

X - Y - (Y - A) = B + B

进而有:

c? - 2d? = A - 2B = - (X - 2Y) = -(a? - 2b?) = 0

于是 x=c, y = d 也是 ② 的解。

根据图形中边的关系，又有：

c = a - 2d < a，d = b - c < b

于是 x = c, y = d 是比 x = a, y = b 更小的正整数解。

以新得到的更小的正整数解 x = c, y = d 为起始，重复上面的绘图求解过程，则还会得到 更更小的正整数解，这个绘图求解过程 会一直重复下去，因为此我们永远找不到最终那个最小的正整数解，这说明 ② 不存在最小整数解，故，√2 是无理数。

用最简分式性质证明

正有理数的 最简分式的分子（分母）子所有同数值分式中是最小正整数。

假设，√2 = a/b ③，因为 (a, b) = 1 ，所以 a/b 是最简分式，进而 a，b 具有最小正整数性。从 ③ 得到 a? = 2b? ，等式两边 同时 减去 ab 有：

a? - ab = 2b? - ab, a(a-b) = b(2b - a)

得到：

a/b = (2b - a) / (a - b)

显然 2b - a 和 a - b 均为 整数。 因为 a/b = √2 < √4 = 2 所以 a < 2b， 故 2b - a > 0；因为 a/b = √2 > 1 所以 a > b， 故 a - b > 0；由 a - (2b - a) = 2(a - b) > 0 得到 2b - a < a ； 由 b - (a - b) = 2b - a > 0 得到 a-b < b；这样就证明了 2b-a ，a - b 是比 a， b 更小的 正整数，这和 a，b 具有最小正整数性，矛盾。

用完全平方数证明

称 可以表示为 a? （a 正整数）的数为完全平方数。因为：

0? = 0, 1? = 1, 2?= 4, 3? = 9, 4? = 16, 5? = 25, 6? = 36, 7? = 49, 8? = 64, 9? = 81

所以，完全平方数的个位数字只可能是 0, 1, 4, 5, 6, 9 ，否则就不是完全平方数。

假设 √2 = a/b ，则 a? = 2b? ，b? 是完全平方数。

当 b? 的个位数字是 1, 4, 6, 9 时，因为：

2 × 1 = 2, 2 × 4 = 8, 2 × 6 = 12, 2 × 9 = 18

于是，2b? 的个位数字只可能是 2, 8，于是 2b? 不是完全平方数。但是 2b? = a? ，于是 2b? 又是 一个完全平方数。矛盾。

当 b? 的个位数字就是 0, 5 时，因为：

2 × 0 = 0, 2 × 5 = 0,

于是， 2b? = a? 的个位数字只能是 0。这说明 5 是 a? 和 b? 的公因子，但是由于 a 和 b 既约，所以 a? 和 b? 也 既约，a? 和 b? 最大公因子只能是 1。矛盾。

（由于本人数论水平有限，回答难免有错误，欢迎杨老师（题主）和大家指正。）

根号2是有理数吗？

不是有理数，是无理数。

这题可以用反证法来证明，证明根号2不是有理数，也就是要证明根号2是无理数。

证明：假设根号2是有理数，设根号2=Q/P（P、Q是整数，而且互质），则Q=根号2*P

所以 Q平方=2*P平方，因为右边是2的倍数，故左边Q平方也是2的倍数，从而Q是2的倍数，设Q=2n，代入Q平方=2*P平方得：2*n平方=P平方，由于左边是2的倍数，故右边P平方也是2的倍数，从而P是2的倍数，则P、Q都是2的倍数，即P、Q有公因数2，这与P、Q互质相矛盾。所以根号2不是有理数，是无理数。

根号2为什么是无理数？

证明：假设√2是有理数。

那么可用互质的两来个数m、n来表示√2。即√2=n/m。那么由√2=n/m可得， 2=n^2/m^2，即n^2=2*m^2 因为n^2=2*m^2，那么n^2为偶数，则n也为偶数。则可令n=2a，那么(2a)^2=2*m^2， 化简得2a^2=m^2，同理可得m也为偶数。那可令m=2b。那么由m=2b，n=2a可得m与n有共同的质因数2，即m和n不是互质的源两个数。所以假设不成立。即√2是有理数不成立，那么√2是无理数。

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