质数是什么意思

质数是什么意思，下面是课考拉为大家整理的相关内容，看看有没有帮助。

质数的定义是什么？或者怎样理解质数？

质数，在《数论》上习惯称为素数（也叫做，不可约数），是一类特殊的整数。

素数被定义为：

只能被 1 和 自身整除的 正整数，但 1 除外。

（由于整数关于 0 对称，于是只要将正整数部分的研究清楚了，负整数也就清楚了，因此一般不讲负素数。）

数学家发现，任何一个正整数（1 除外），都可以唯一的表示为有限个素数的乘积，每个素数称为该整数的素因子，整个乘积称为该整数的素因子分解。例如：

6 = 2×3

当然，素因子可以重复，例如：

12 = 2 × 2 × 3

因为 如果 1 也是素数，则：

6 = 2×3 = 1×2×3 = 1 × 1 ×2×3 = ...

于是，为了，素因子分解结果唯一，我们不得不让 1 排除在 素数 之外。

素数可以理解为：乘法运算中不可再分解的数，而加法中不可再分解的数只有1。我们可以通过1不断相加得到所有正整数，同样我们可以通过素数相互不断相乘得到所有正整数（1除外）。

从正整数中找到素数是首要的问题！可以直接根据定义，一个个数判断，但这样太慢，数学家一般使用从正整数中排除不是素数的数（称为合数，1除外）的办法，称为筛选法。

如果，正整数 a > 1 的 素因子分解 为：

a = p? × p? × ... × p?

则，一定存在一个素因子 p ∈ {p?, p?, ... p? } 使得 p ≤ ?√a。

这个很显然！如果，每个p? > ?√a，则 p? × p? × ... × p? >( ?√a)? = a，矛盾。

而我们知道，素数在做素因子分解时，只有一个因子，即它自己，例如：

3 = 3

而合数 最少 两个，例如：

6 = 2×3

于是 合数 a 必然存在 素因子 p ≤ √a。

于是，我们需要找出 N 内的 素数，只需要 找到 √N 内的素数，然后 用这些 素数 去判断 √N 到 N 之间的 正整数 是否是 合数，将是合数的删掉，剩下的就是 素数。这称为 Eratoschenes（埃拉托斯特尼） 筛选法。实例如下：

我们先找到 10 以内的 素数：2，3，5，7；然后 对 10 到 10? = 100 进行筛选：

用 2 筛掉：11, 12, ... , 99, 100；

用 3 筛掉：11, 13, 15, 17, ... , 97, 99；

用 5 筛掉：11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 35, ..., 95, 97；

用 7 筛掉：11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, ..., 91, 97；

于是得到：11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97；有了 100 以内 的素数，然后，对 100 到 100? = 10000 进行筛选 ...

（其实，在具体用 p 进行筛选时，只需要从 p? 开始筛选就可以了，因为 小于 p? 的数，如果具有 p 因子，则 一定具有 小于 p 的素因子，这已经被之前的小于 p 的素因子筛掉了。）

（头条里多位老师也给出了自己的筛选法，大家可以参考借鉴！）

那么，我们使用 筛选法是否可以将 素数 筛完呢？答案是不可能，因为：

素数有无穷多个。

这是一个著名定理，证明如下：

假设，素数有限，记为 p?, p?, ..., p? 。现在，令 a = p? × p? × ... × p? + 1，显然 a 不是任意 一个 素数，且 大于 2， 于是 a 必然是合数，于是存在 素数 p? | a （| 表示 整除）。而 p? 是 p?, p?, ..., p? 中的一员，于是 p? | p? × p? × ... × p?，进而 p? | (a - p? × p? × ... × p?) ，即 p? | 1，于是 p? = 1，而 p? 是素数 必然 p? > 1，矛盾。

将素数从 小到大排列，记为，

p? = 2, p? = 3, p? = 5, ...

数学家发现：

p? ≤ 2^{2???}

因为：

上面那个定理的证明过程，还说明，在 p? 到 a = p? × p? × ... × p? + 1 之间必然有 一个 素数 p???，即，
p??? ≤ p? × p? × ... × p? + 1，
利用这个结果，进行如下证明：
● 当 r = 1 时，显然 p? = 2 ≤ 2^{2???} = 2? = 2，定理成立；
● 如果 当 r ≤ i 时，命题成立，即，
p? ≤ 2^{2?}, p? ≤ 2^{2?}, ..., p? ≤ 2^{2???}，
则 当 r = i + 1 时，根据 前面的 不等式，有：
p??? ≤ p? × p? × ... × p? + 1 ≤ 2^{2?} × 2^{2?} × ... ×2^{2???} + 1 = 2^{2? + 2? + ... + 2???} + 1 = 2^{2? - 1} + 1 ≤ 2^{2? - 1} + 2^{2? - 1} = 2 × 2^{2? - 1} = 2^{2?}；归纳得证。

如果，将不超过 x 的 素数个数，记为 π(x)，则上面的命题等价于：

π(x) > log?(log?x)

因为：

对于任意 x ≥ 2 ，显然有 唯一正整数 r 使得：
2^{2???} ≤ x < 2^{2?}，
● 由上面的左边不等式得到：π(2^{2???}) ≤ π(x) ，而前面已经证明了 p? ≤ 2^{2???}，而 到 p? 的素数 当然是 r 个 所以：r ≤ π(2^{2???})，于是，最终有：
r ≤ π(x)，
● 由上面的右边不等式得到：
log?(log?x) < r，
综上可到：log?(log?x) < π(x)。

素数的定义虽然很简单，但是确意想不到的麻烦！数学家至今依然没有找到素数在正整数中的准确分布规律。

（杨老师<@杨式素数>，在这方面很有研究，大家有兴趣可以去他那里请教。）

（黎曼猜想有助于解决素数分布问题！）

（退而求其次，数学家还发明的 伪素数的概念：

如果 n | 2? - 2，称 n 为 伪素数，如果 对于任意 整数 a 都有 n | a? - a 称 n 为 绝对伪素数。

关于，伪素数分布 也是一个研究方向。）

除了 2 其它素数都是 奇数，2 是最小的素数，3 是最小的奇数素数。

两个相邻的奇数如果都是素数称为孪生素数，例如：3 和 5，5 和 7 ， 11 和 13， ...。

三个相邻奇数是素数的情况，只能是： 3，5，7 这一种情况，因为：

假设，相邻三个相邻奇数，a, b, c > 3 都是素数，其中 b = a + 2，c = a + 4。由于 a 是素数，因此 3 ? a（? 表示 不能整除）于是 a = 3n + 1 或 3n + 2。
● 当 a = 3n + 1 时，b = a + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3(n+1)，显然 3 | b，故 b 不是素数，矛盾；
● 当 a = 3n + 2 时，c = a + 4 = 3n + 2 + 4 = 3n + 6 = 3(n + 2)，显然 3 | c，故 c 不是素数，矛盾；

以上证明，也说明了三个以上相邻的奇数是素数不可能。

于是，研究特殊的 孪生素数 就有了价值。但是 比 素数 还不争气，数学家连孪生素数是否有无穷多个都没办法证明。

（数学家 张益唐 在这方面取得了 巨大突破！）

最后，和素数相关的一个概念是 两个整数 a, b 互素，即 a， b 之间 a ? b 并且 b ? a，两个素数一定互素，例如：

3, 5

但两个 合数 也可以 互素，例如：

9, 25

互素在代数里也同样至关重要。

(小石头对于《数论》是门外汉，头条里作这方面研究的大神众多！小石头在这里纯粹是班门弄斧，欢迎各位老师莅临指导！）

什么叫质数？

质数又称为素数,是一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。

扩展资料

应用

质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。

在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。

以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。

多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。

质数是什么意思？

能够被一和它本身整除的正整数叫做质数。不能被对方整除的两个质数叫做互质数。质数概念是中学数学的重要内容。

以上就是关于质数是什么意思的详细介绍，更多与此有关的内容，请继续关注课考拉，希望本文对你有所帮助。